伯努利数备忘录

本文有将近 50 个公式,谨慎观看

定义及推导

定义伯努利数为满足
$$ \frac{x}{e^x-1}=\sum_{n\geq 0} B_n\frac{x^n}{n!} $$
的有理数列
虽然已经得到了它的生成函数,但是发现仅凭这样一个多项式并不好推
于是考虑将其化简,对 $e^x$ 泰勒展开后
$$ \frac{x}{e^x-1} = \frac{x}{\sum_{i\geq 0}\frac{x^i}{i!}-1} $$
$$\frac{x}{e^x-1}=\frac{x}{\sum_{i\geq 1}\frac{x^i}{i!}}​$$

$$\frac{x}{e^x-1}=\frac{1}{\sum_{i\geq 1}\frac{x^{i-1}}{i!}}​$$
$$ \frac{x}{e^x-1}=\frac{1}{\sum_{i\geq 0}\frac{x^i}{(i+1)!}} ​$$

此时可以用多项式求逆较快速的求出

部分性质

性质1

$$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{i\geq 0}B_i\frac{x^i}{i!}$$

就是定义

性质2

当 $n>1$ 时

$$ \sum_{i=0}^{n} C_{n+1}^i B_i=0 $$
证明:

$$ F(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}B_i\frac{x^i}{i!} $$
由生成函数定义得
$$F(x)=\frac{x}{e^x – 1}$$
将 $e^x$ 级数展开得
$$F(x)=\frac{1}{\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{x^i}{(i+1)!}}$$
所以易发现
$$F(x)\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{x^i}{(i+1)!}=1$$
化简得
$$\sum_{p=0}^{+\infty}\sum_{i=0}^{p}B_i\frac{x^i}{i!}\frac{x^{p-i}}{(p+1-i)!}=1$$
化简得
$$\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{x^p}{(p+1)!}\sum_{i=0}^{p}B_i\binom{p+1}{i}=1$$
因为$B_0=1$
易得
$$\sum_{p=1}^{+\infty}\frac{x^p}{(p+1)!}\sum_{i=0}^{p}B_i\binom{p+1}{i}=0$$
我们发现这是一个常值函数,所以系数都为0
所以有
$$\sum_{i=0}^{p}B_i\binom{p+1}{i}=0$$
成立
证毕

性质3

当 $n>1$ 且 $n$ 为奇数时, $B_n$ 为 $0$
设 $f(x)=\frac{x}{2}-1+\frac{x}{e^x-1}$
$$f(-x)=\frac{-x}{2}-1+\frac{-x}{e^{-x}-1}$$
化简得
$$f(-x)=f(x)=\sum_{i=2}^{+\infty}B_i\frac{x^i}{i!}$$
所以 $f(x)$ 为偶函数
由于 $f(x)=f(-x)$ 又因为 $x^i\neq (-x)^i$ 所以在 $i\equiv 1 \pmod2$ 时生成函数系数为 $0$
所以伯努利数的生成函数除了第一项以外的奇数项系数均为 $0$
证毕

性质4

用于快速求解自然数幂和
$$\sum_{i=1}^{n}i^k=\frac{1}{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}\binom{k+1}{i}B_{k+1-i}(n+1)^i$$
证明:
我看证明看到一半看不下去了,我太菜了 QwQ,膜 FYT 神仙

$$S(i)=\sum_{k=1}^{n}k^i$$
则设 $S$ 的生成函数为
$$G(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}S(i)\frac{x^i}{i!}$$
带入 $S(i)$ ,化简得:
$$G(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{(xk)^i}{i!}$$

$$G(x)=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{(xk)^i}{i!}$$

$$e^x=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{x^i}{i!}$$
即 $e^x$ 的级数展开得
$$ G(x)=\sum_{k=1}^{n}e^{xk} $$
等比数列求和得
$$G(x)=\frac{1-e^{nx}}{e^{-x}-1}$$

$$F(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}B_i\frac{x^i}{i!}$$
易得
$$F(-x)=\sum_{i=0}^{+\infty}B_i\frac{(-x)^i}{i!}=\frac{-x}{e^{-x}-1}$$
$$\frac{F(-x)}{-x}=\sum_{i=0}^{+\infty}B_i\frac{(-x)^{i-1}}{i!}=\frac{1}{e^{-x}-1}$$

$$H(x)=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{(xn)^i}{i!}$$
由自然对数的级数展开易得
$$H(x)=e^{nx}-1$$
所以有
$$G(x)=\frac{F(-x)}{-x}[-H(x)]$$
化简易得
$$\sum_{i=0}^{+\infty}(-1)^iB_i\frac{x^{i-1}}{i!}\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{n^j}{j!}x^j$$
相乘化简得
$$\sum_{p=0}^{+\infty}(\sum_{i=0}^{p}(-1)^iB_i\frac{n^{p+1-i}}{i!(p+1-i)!})x^p$$
继续化简得
$$\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{x^p}{p!}\frac{1}{p+1}\sum_{i=0}^{p}(-1)^iB_in^{p+1-i}\binom{p+1}{i}$$
因为
$$G(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}S(i)\frac{x^i}{i!}=\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{x^p}{p!}\frac{1}{p+1}\sum_{i=0}^{p}(-1)^iB_in^{p+1-i}\binom{p+1}{i}$$
对照系数可知
$$S(p)=\frac{1}{p+1}\sum_{i=0}^{p}(-1)^iB_i\binom{p+1}{i}n^{p+1-i}$$
根据性质3当 $n>1$ 且 $n$ 为奇数时, $B_n$ 为 $0$
我们二项式定理展开
$$\sum_{i=0}^{p}\binom{p+1}{i}B_{i}(n+1)^{p-i+1}$$

$$\sum_{i=0}^{p}\sum_{j=0}^{p+1-i}\binom{p+1}{j}\binom{p+1-j}{i}B_in^j$$
化简得
$$(\sum_{j=0}^{p+1}\sum_{i=0}^{p+1-j}\binom{p+1}{j}\binom{p+1-j}{i}B_in^j)-(\sum_{j=0}^{p+1}B_i)$$
当 $p>1$ 时有 $\sum_{j=0}^{p+1}B_i=0+B_{p+1}$
所以化简得
$$(\sum_{j=0}^{p+1}n^j\binom{p+1}{j}\sum_{i=0}^{p+1-j}\binom{p+1-j}{i}B_i)-(\sum_{j=0}^{p+1}B_i)$$
因为当 $p+1-j==1$ 时 $\sum_{i=0}^{p+1-j}\binom{p+1-j}{i}B_i=-B_1$
因为当 $p+1-j>1$ 时 $\sum_{i=0}^{p+1-j}\binom{p+1-j}{i}B_i=B_{p+1-i}$
又因为 $n$ 为奇数时 $B_n==0$
所以有
$$\sum_{j=0}^{p+1}n^j\binom{p+1}{j}\sum_{i=0}^{p+1-j}\binom{p+1-j}{i}B_i=\sum_{j=0}^{p+1}n^j\binom{p+1}{j}(-1)^{p+1-j}B_{p+1-j}$$
所以有
$$S(p)=\frac{1}{p+1}(\sum_{j=0}^{p+1}n^j\binom{p+1}{j}(-1)^{p+1-j}B_{p+1-j}-B_p+1)$$
成立

$$S(p)=\frac{1}{p+1}\sum_{i=0}^{p}(-1)^iB_i\binom{p+1}{i}n^{p+1-i}=\frac{1}{p+1}\sum_{i=0}^{p}(-1)^iB_i\binom{p+1}{i}n^{p+1-i}$$
证毕

sys_con

高一 OIer,常规 / 竞赛都渣得不行

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