Miller-Rabin 素数判定 与 较大数取模

米勒拉宾判定

LOJ – 质数判定
最近学了这个随机化的素数判定方法,终于学懂了(我之前学的肯定是假的
给一个建议:最好不要去Wikipedia – 米勒-拉宾素性检验上看
我随便讲一下,因为最近有点事多
首先对于一个数 $p$ ,如果它是素数,那么由于费马小定理:
$$ a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$$
看上去似乎只要枚举一些 $a$ 判断是否满足就行了,但实际上很容易被卡掉
这时候考虑引入其他的限制来进行进一步的判断
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莫比乌斯反演-例题

由于之前那篇备忘录要是再加上例题就太长了,所以单独开了一篇
可以先看一下前一篇文章
下文中默认 $n<m$

一个常见的套路

求 $n$ 以内和 $m$ 以内互质数对个数
$$
\begin{eqnarray}
&&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=1]\\
&=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d) \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\times [d\mid gcd(i,j)] \\
&=&\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[d\mid gcd(i, j)] \\
&=&\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[1\mid gcd(i,j)]\\
&=&\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor
\end{eqnarray}
$$
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BZOJ5104 Fib数列

题意

在 $mod\ \ 10^9+\color{red}9$ 的意义下求出数字 $n$ 在 Fib 数列中出现在哪个位置
由于没有 spj如果有多个,输出最靠前的那个位置)

题解

之前 Picks 讲课的时候提到了这样一道题,但没说来源,所以我一直不知道网上有,后来乱逛时发现了这道题,做了一下
题解放在这篇文章的 T1 那里了
这里稍微讲一下模数为奇素数的二次剩余,使用 Cipolla 算法求解
现在要解决一个问题,给定 $n$ ,要求出模意义下的 $x$ 使
$$ x^2\equiv n\pmod{p} $$
或者说求 $\sqrt{n}\pmod{p}$
这里只是简要讲解,更详细的请到引用资料里看
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OpenJ_POJ1055 Tree

题目链接

题面

以随机父节点的方式生成一棵节点个数不大于 $n$ 的随机树, 求平均结点深度的期望
$n\leq 10^{18}$

题解

又是 Picks 出的题
这题依然是好题
设前面已经生成 $i-1$ 个点,当前生成第 $i$ 个点,这个点的期望深度为 $d_i$ ,前 $i$ 个节点的期望平均深度为 $f_i$ ,则
$$
\begin{eqnarray}
d_i&=&f_{i-1}+1 \tag{1}\\
f_i&=&\frac{f_{i-1}(i-1)+d_i}{i} \tag{2}\\
\end{eqnarray}
$$
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TsinsenA1221 大楼

题目链接

题意

给出一张带权图, 从 $1$ 结点出发, 问最少走过多少条边, 使得权值总和大于等于 $m$ 。
$1\leq n\leq 100, 1\leq m\leq 10^{18} $

题解

发现给出了一个邻接矩阵,而且从 $i\to k$ 和从 $k\to j$ 的权值和可以更新 $i\to j$ 的最大权值和
可以看做用邻接矩阵中 $g[i][k]+g[k][j]$ 来更新 $g[i][j]$
于是类似于矩乘的做矩阵快速幂棵快速得到走过 $l$ 条边的最大权值
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单位根反演备忘录

之前 Picks 来讲课,结果 Guideposts 那题被 boshi 秒了 boshi讲完我还在下面懵逼
后来去学了单位根反演

单位根反演

具体来说,就是将 $[n\mid k]$ 转化为一个容易化简,求值,带入的式子
$$ [n\mid k] = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ki} $$

证明

  1. 当 $n\mid k$ 时,设 $k=t\cdot n$ ,则
    $$ \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ki} = \frac{\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{n\cdot(ti)}}{n} =1=[n\mid k]$$
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BZOJ4911 切树游戏

建议在 LOJ 上提交

题解

一开始想用点分治然后DP,结果发现会统计不合法答案,后来去看题解了,发现这题简直神题
算法:动态dp+FWT
虽然题目中表示树是无根的,但是我们还是可以随便选一个点作为根
设 $f(i,k)$ 为以 $i$ 为根节点的子树,异或值为 $k$ 的联通子树个数
发现某个节点的 $f$ 值可以从所有子树的 $f$ 做异或卷积转移得来
具体地说,设 $F_i(z)$ 代表 $i$ 的 $f$ 数组的生成函数,则
$$ F_i(z) = z^{v_i} \prod (F_{son_i}(z)+z^0)$$
其中卷积为异或卷积
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BZOJ5153 州区划分

bzoj上不能测试这题,需要下载数据手动测试,我写了个linux上的简易测试脚本
下载本地测试文件,将自己的程序重命名为 5153.cpp 放进解压后的文件夹里,然后把从 bzoj 上下载的数据也放进去,输入 sh test.sh 等待结果就行
update: 后来发现 UOJ 上也有

题面

链接

题解

设 $f _ S$ 为点集为 $S$ 时的答案,$g _ S$ 为点集为 $S$ 且点集对应的图合法时集合中所有点的权值和,$sum _ S$ 为点集 $S$ 中所有点的权值和
显然,当 $S$ 合法时 $g _ S=sum _ S$ ,否则 $g _ S=0$
根据题目
$$ f _ S=\sum _ {T\subseteq S} f _ {S-T}\times \big{(}\frac{g _ T}{sum _ S}\big{)}^p $$
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BZOJ4036 按位或

vfk 论文上的一道例题

题意

给出 $n$ ,每秒会有 $p_i$ 的概率选择 $i ,i \in [0, 2^n – 1]$ ,与手上的数进行异或,问期望多少次后手上的数会变成 $2^n-1$

题解

果然还是应该用 $\hat f$ 来表示 $f$ 的莫比乌斯变换,不然我整个人都比较懵
设 $f_i$ 表示操作 $i$ 次后得到数字的概率的生成函数, $U$ 为 $2^n – 1$
设 $h_S$ 表示得到 $S$ 的期望操作次数,将 $f$ 看成集合幂级数,则
$$ h_S = \sum_{k=1}^{\infty} k\cdot(f^k – f^{k-1}) $$
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一道有趣的题目

其实是今天考试题,话说昨天做了 FWT 题今天就考一道 FWT 题真巧

题意

给出 $n$ 堆石子,每堆石子个数为 $a_i$ ,然后删掉几堆石子(不能全删),问至少删多少堆使后手必胜

题解

设 $XOR$ 为所有 $a_i$ 的异或和,则题目可以转化为选最少的数是它们异或起来为 $XOR$
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