单位根反演备忘录

之前 Picks 来讲课,结果 Guideposts 那题被 boshi 秒了 boshi讲完我还在下面懵逼
后来去学了单位根反演

单位根反演

具体来说,就是将 $[n\mid k]$ 转化为一个容易化简,求值,带入的式子
$$ [n\mid k] = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ki} $$

证明

  1. 当 $n\mid k$ 时,设 $k=t\cdot n$ ,则
    $$ \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ki} = \frac{\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{n\cdot(ti)}}{n} =1=[n\mid k]$$
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