OpenJ_POJ1055 Tree

题目链接

题面

以随机父节点的方式生成一棵节点个数不大于 $n$ 的随机树, 求平均结点深度的期望
$n\leq 10^{18}$

题解

又是 Picks 出的题
这题依然是好题
设前面已经生成 $i-1$ 个点,当前生成第 $i$ 个点,这个点的期望深度为 $d_i$ ,前 $i$ 个节点的期望平均深度为 $f_i$ ,则
$$
\begin{eqnarray}
d_i&=&f_{i-1}+1 \tag{1}\\
f_i&=&\frac{f_{i-1}(i-1)+d_i}{i} \tag{2}\\
\end{eqnarray}
$$
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单位根反演备忘录

之前 Picks 来讲课,结果 Guideposts 那题被 boshi 秒了 boshi讲完我还在下面懵逼
后来去学了单位根反演

单位根反演

具体来说,就是将 $[n\mid k]$ 转化为一个容易化简,求值,带入的式子
$$ [n\mid k] = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ki} $$

证明

  1. 当 $n\mid k$ 时,设 $k=t\cdot n$ ,则
    $$ \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ki} = \frac{\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{n\cdot(ti)}}{n} =1=[n\mid k]$$
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BZOJ5153 州区划分

bzoj上不能测试这题,需要下载数据手动测试,我写了个linux上的简易测试脚本
下载本地测试文件,将自己的程序重命名为 5153.cpp 放进解压后的文件夹里,然后把从 bzoj 上下载的数据也放进去,输入 sh test.sh 等待结果就行
update: 后来发现 UOJ 上也有

题面

链接

题解

设 $f _ S$ 为点集为 $S$ 时的答案,$g _ S$ 为点集为 $S$ 且点集对应的图合法时集合中所有点的权值和,$sum _ S$ 为点集 $S$ 中所有点的权值和
显然,当 $S$ 合法时 $g _ S=sum _ S$ ,否则 $g _ S=0$
根据题目
$$ f _ S=\sum _ {T\subseteq S} f _ {S-T}\times \big{(}\frac{g _ T}{sum _ S}\big{)}^p $$
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BZOJ4036 按位或

vfk 论文上的一道例题

题意

给出 $n$ ,每秒会有 $p_i$ 的概率选择 $i ,i \in [0, 2^n – 1]$ ,与手上的数进行异或,问期望多少次后手上的数会变成 $2^n-1$

题解

果然还是应该用 $\hat f$ 来表示 $f$ 的莫比乌斯变换,不然我整个人都比较懵
设 $f_i$ 表示操作 $i$ 次后得到数字的概率的生成函数, $U$ 为 $2^n – 1$
设 $h_S$ 表示得到 $S$ 的期望操作次数,将 $f$ 看成集合幂级数,则
$$ h_S = \sum_{k=1}^{\infty} k\cdot(f^k – f^{k-1}) $$
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一道有趣的题目

其实是今天考试题,话说昨天做了 FWT 题今天就考一道 FWT 题真巧

题意

给出 $n$ 堆石子,每堆石子个数为 $a_i$ ,然后删掉几堆石子(不能全删),问至少删多少堆使后手必胜

题解

设 $XOR$ 为所有 $a_i$ 的异或和,则题目可以转化为选最少的数是它们异或起来为 $XOR$
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BZOJ4589 Hard Nim

题目链接

题意

有 $n$ 堆石子,每堆石子个数是小于等于 $m$ 的质数,现在对这些石子玩 Nim 游戏,问后手必胜的方案数
$1\leq n \leq 10^9 , 2\leq m \leq 50000 $

题解

一道 $FWT$ 模板题
设 $F_n$ 表示考虑前 $n$ 堆石子,每堆石子数目异或值对应的生成函数,则
$$ F_n(i)=\sum_{j\oplus k = i} F_{n-1}(j) \cdot F_1(k) $$
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快速沃尔什变换备忘录

这真的仅仅是一个备忘录,没什么自己的东西
包含一些莫比乌斯变换的东西
我一开始就到 picks 的博客上去学果然是个错误的决定,表示学完之后云里雾里
然后又找了几个博客,还是不太明白,果然是因为我太渣了
然后到学长的博客上去看了一下,真是好明白多了
既然别人有写得很仔细的文章了,我就懒得写了,可以到底下链接去看,我只会写一些我学习时遇到的一点问题
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自然数幂和

自然数幂和问题,是给定 $n, k$ ,求
$$ f_k(n)=\sum_{i=1}^{n}i^k $$
之前在伯努利数备忘录里面写了一点自然数幂和
后来又看到几个大爷在博客里面写了自然数幂和,所以又开一篇文章来引用一下其他的方法,我都只是简要提一下思路,具体方法在链接里

Miskcoo 的方法

以下思路与图片来自miskcoo 的博客
感觉思路新奇,明明看上去很简单,但是我怎么就想不到
首先考虑 $S_n=\sum_{i=1}^{n}i^2$ 应该怎样求解
1.png
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莫比乌斯反演

一个小题

先讲一个同学出的题了解一下一种数论变换方式
给定 $n(n\leq 10^6)$ ,求
$$ \prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)} $$
虽然有 $\mathcal{O(n)}$ 的方法,但是这里不提了
考虑式子化简
$$\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}$$
$$ =\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}\frac{i\cdot j}{gcd^2(i,j)}=\frac{\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}i\cdot j}{\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}gcd^2(i,j)} $$
上面很好处理,于是考虑下面怎么求
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