Pollard’s Rho 较大整数因数分解

建议看一下网上找到的文章

如何分解

要分解 $n$ ,只需要找到一个 $d$ 使 $gcd(n,d)\neq 1$ ,然后分别分解 $d$ 和 $\frac{n}{d}$ 即可
但是这个 $d$ 十分难找,根据生日悖论(具体看pdf里的东西),我们随机找两个数 $x_i,x_j$
判断 $gcd(|x_i-x_j|,n)$ 是否为 $1$ ,然后进行继续选取或直接分解,碰中的几率会大很多
于是设 $f_i=f_{i-1}^2+c$ ,然后分别生成(伪)随机数来进行判定
但是程序中需要判断某个大整数是否为素数,这就需要用到 Miller-Rabin算法
发现这样生成 $f$ 可能会生成环,这会导致程序陷入死循环,此时需要跳出 继续阅读

Miller-Rabin 素数判定 与 较大数取模

米勒拉宾判定

LOJ – 质数判定
最近学了这个随机化的素数判定方法,终于学懂了(我之前学的肯定是假的
给一个建议:最好不要去Wikipedia – 米勒-拉宾素性检验上看
我随便讲一下,因为最近有点事多
首先对于一个数 $p$ ,如果它是素数,那么由于费马小定理:
$$ a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$$
看上去似乎只要枚举一些 $a$ 判断是否满足就行了,但实际上很容易被卡掉
这时候考虑引入其他的限制来进行进一步的判断
继续阅读

莫比乌斯反演-例题

由于之前那篇备忘录要是再加上例题就太长了,所以单独开了一篇
可以先看一下前一篇文章
下文中默认 $n<m$

一个常见的套路

求 $n$ 以内和 $m$ 以内互质数对个数
$$
\begin{eqnarray}
&&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=1]\\
&=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d) \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\times [d\mid gcd(i,j)] \\
&=&\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[d\mid gcd(i, j)] \\
&=&\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[1\mid gcd(i,j)]\\
&=&\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor
\end{eqnarray}
$$
继续阅读

OpenJ_POJ1055 Tree

题目链接

题面

以随机父节点的方式生成一棵节点个数不大于 $n$ 的随机树, 求平均结点深度的期望
$n\leq 10^{18}$

题解

又是 Picks 出的题
这题依然是好题
设前面已经生成 $i-1$ 个点,当前生成第 $i$ 个点,这个点的期望深度为 $d_i$ ,前 $i$ 个节点的期望平均深度为 $f_i$ ,则
$$
\begin{eqnarray}
d_i&=&f_{i-1}+1 \tag{1}\\
f_i&=&\frac{f_{i-1}(i-1)+d_i}{i} \tag{2}\\
\end{eqnarray}
$$
继续阅读

单位根反演备忘录

之前 Picks 来讲课,结果 Guideposts 那题被 boshi 秒了 boshi讲完我还在下面懵逼
后来去学了单位根反演

单位根反演

具体来说,就是将 $[n\mid k]$ 转化为一个容易化简,求值,带入的式子
$$ [n\mid k] = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ki} $$

证明

  1. 当 $n\mid k$ 时,设 $k=t\cdot n$ ,则
    $$ \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ki} = \frac{\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{n\cdot(ti)}}{n} =1=[n\mid k]$$
    继续阅读

BZOJ5153 州区划分

bzoj上不能测试这题,需要下载数据手动测试,我写了个linux上的简易测试脚本
下载本地测试文件,将自己的程序重命名为 5153.cpp 放进解压后的文件夹里,然后把从 bzoj 上下载的数据也放进去,输入 sh test.sh 等待结果就行
update: 后来发现 UOJ 上也有

题面

链接

题解

设 $f _ S$ 为点集为 $S$ 时的答案,$g _ S$ 为点集为 $S$ 且点集对应的图合法时集合中所有点的权值和,$sum _ S$ 为点集 $S$ 中所有点的权值和
显然,当 $S$ 合法时 $g _ S=sum _ S$ ,否则 $g _ S=0$
根据题目
$$ f _ S=\sum _ {T\subseteq S} f _ {S-T}\times \big{(}\frac{g _ T}{sum _ S}\big{)}^p $$
继续阅读

BZOJ4036 按位或

vfk 论文上的一道例题

题意

给出 $n$ ,每秒会有 $p_i$ 的概率选择 $i ,i \in [0, 2^n – 1]$ ,与手上的数进行异或,问期望多少次后手上的数会变成 $2^n-1$

题解

果然还是应该用 $\hat f$ 来表示 $f$ 的莫比乌斯变换,不然我整个人都比较懵
设 $f_i$ 表示操作 $i$ 次后得到数字的概率的生成函数, $U$ 为 $2^n – 1$
设 $h_S$ 表示得到 $S$ 的期望操作次数,将 $f$ 看成集合幂级数,则
$$ h_S = \sum_{k=1}^{\infty} k\cdot(f^k – f^{k-1}) $$
继续阅读

一道有趣的题目

其实是今天考试题,话说昨天做了 FWT 题今天就考一道 FWT 题真巧

题意

给出 $n$ 堆石子,每堆石子个数为 $a_i$ ,然后删掉几堆石子(不能全删),问至少删多少堆使后手必胜

题解

设 $XOR$ 为所有 $a_i$ 的异或和,则题目可以转化为选最少的数是它们异或起来为 $XOR$
继续阅读

BZOJ4589 Hard Nim

题目链接

题意

有 $n$ 堆石子,每堆石子个数是小于等于 $m$ 的质数,现在对这些石子玩 Nim 游戏,问后手必胜的方案数
$1\leq n \leq 10^9 , 2\leq m \leq 50000 $

题解

一道 $FWT$ 模板题
设 $F_n$ 表示考虑前 $n$ 堆石子,每堆石子数目异或值对应的生成函数,则
$$ F_n(i)=\sum_{j\oplus k = i} F_{n-1}(j) \cdot F_1(k) $$
继续阅读